问超几何分布公式

【超几何分布公式】在概率论与统计学中，超几何分布是一种离散型概率分布，用于描述在不放回抽样中成功事件发生的次数。它适用于有限总体中进行无放回抽样的情况，常用于质量控制、抽奖、样本调查等实际问题中。

一、超几何分布的基本概念

超几何分布的随机变量 $ X $ 表示在一次无放回抽样中，从一个包含 $ N $ 个元素的总体中抽取 $ n $ 个样本时，其中具有某种特征（如“成功”）的元素数量。该总体中有 $ K $ 个“成功”元素，其余为“失败”元素。

二、超几何分布的概率质量函数

超几何分布的概率质量函数（PMF）如下：

$$

P(X = k) = \frac{\dbinom{K}{k} \dbinom{N - K}{n - k}}{\dbinom{N}{n}}

$$

其中：

- $ N $：总体大小

- $ K $：总体中成功的数量

- $ n $：抽取样本的数量

- $ k $：样本中成功的数量

- $ \dbinom{a}{b} $：组合数，表示从 $ a $ 个元素中选择 $ b $ 个的方式数

三、超几何分布的期望与方差

- 期望值：$ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $

- 方差：$ Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $

四、超几何分布与二项分布的区别

五、超几何分布的应用实例

假设有一个盒子内有 10 个球，其中 4 个是红球，6 个是蓝球。从中随机抽取 3 个球，求抽到 2 个红球的概率。

- $ N = 10 $, $ K = 4 $, $ n = 3 $, $ k = 2 $

计算过程如下：

$$

P(X = 2) = \frac{\dbinom{4}{2} \dbinom{6}{1}}{\dbinom{10}{3}} = \frac{6 \cdot 6}{120} = \frac{36}{120} = 0.3

$$

因此，抽到 2 个红球的概率为 0.3 或 30%。

六、总结

超几何分布是处理有限总体、无放回抽样问题的重要工具。其公式清晰、适用范围广泛，尤其在质量检测、抽样调查等领域具有重要价值。理解其基本原理和应用方法，有助于更好地分析实际问题中的概率现象。

表格：超几何分布关键参数及公式汇总