【行列式展开公式】在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它不仅用于判断矩阵是否可逆，还在解线性方程组、计算特征值等方面有广泛应用。行列式的计算方法多种多样，其中“行列式展开公式”是较为基础且常用的计算方式之一。
一、行列式展开公式的定义
行列式展开公式（也称为拉普拉斯展开）是指通过将一个n阶行列式按照某一行或某一列进行展开，将其转化为若干个(n-1)阶行列式的组合来计算的方法。其核心思想是利用余子式和代数余子式的概念进行展开。
二、行列式展开的基本原理
对于一个n阶行列式D，若我们选择第i行进行展开，则行列式可以表示为：
$$
D = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}
$$
其中：
- $a_{ij}$ 是第i行第j列的元素；
- $C_{ij}$ 是元素$a_{ij}$的代数余子式，即 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$；
- $M_{ij}$ 是去掉第i行第j列后的(n-1)阶行列式，称为余子式。
同样地，也可以按列展开：
$$
D = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}
$$
三、行列式展开公式的应用
行列式展开公式在实际计算中非常实用，尤其是在处理较小的矩阵时，如2×2、3×3等。对于较大的矩阵，虽然展开法可能效率较低，但结合其他技巧（如行变换）可以提高计算效率。
四、行列式展开公式总结表
| 概念 | 定义 | ||
| 行列式 | 一个由n×n矩阵元素组成的数，记作det(A)或 | A | |
| 展开公式 | 将行列式按某一行或某一列展开为多个低阶行列式的组合 | ||
| 代数余子式 | $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中$M_{ij}$是余子式 | ||
| 余子式 | 去掉第i行第j列后的(n-1)阶行列式 | ||
| 展开方式 | 可按行展开：$D = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}$ 也可按列展开：$D = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}$ |
五、小结
行列式展开公式是计算行列式的重要工具，尤其适用于小型矩阵的计算。通过理解代数余子式和余子式的概念，可以更灵活地运用该公式进行求解。尽管在大规模矩阵中效率有限，但在教学和理论分析中仍具有重要价值。
掌握行列式展开公式，有助于进一步学习矩阵的性质、特征值与特征向量等内容，是深入理解线性代数的基础之一。