问lnx 的不定积分 分部积分详解

∫lnxdx=xlnx−x+C，这个是高等数学高频基础积分，使用分部积分法求解，lnx 没有现成积分公式，所以把 lnx 当成 u，剩下的 dx 当成 dv，也就是u=lnx，dv=dx，适用分部积分公式∫udv=uv−∫vdu，定义域要求 x 大于 0，C 代表任意积分常数，考试一定要写上 C，漏写会扣分。

核心公式对照表

详细推导步骤

第一步 设 u=lnx，dv=dx

第二步 求微分和积分，du=x1​dx，v=∫dx=x

第三步 代入分部积分公式 ∫udv=uv−∫vdu

∫lnxdx=xlnx−∫x⋅x1​dx

第四步 化简里面积分，x⋅x1​=1，∫1dx=x

第五步 得到最终结果 ∫lnxdx=xlnx−x+C

深度拓展要点

第一 验证求导，对结果求导：(xlnx−x+C)′=lnx+x⋅x1​−1=lnx，求导还原被积函数，证明积分正确。

第二 同类拓展题型，∫ln(ax+b)dx 也是同样分部积分思路，是这个基础题的变形。

第三 易错点，很多同学忘记加常数 C，或者分部积分的时候 u 和 dv 选反，导致计算变复杂。

第四 注意 lnx 本身定义域是 x>0，所以这个不定积分也只在 x>0 区间成立。

综合以上内容，lnx 不定积分结果是xlnx−x+C，核心就是分部积分，u 选 lnx，dv 选 dx，推导完记得求导验算，不要漏掉积分常数 C。

【常见问题】

问题 1 lnx 的不定积分 为什么要用分部积分

回答 1 lnx 的不定积分，lnx 没有直接对应的积分表公式，不能凑微分直接积，所以选用分部积分，把对数函数作为 u，降低计算难度。

问题 2 lnx 的不定积分 可以写成x(lnx−1)+C吗

回答 1 lnx 的不定积分，xlnx−x+C可以因式合并写成x(lnx−1)+C，两种写法等价，都是正确答案。

问题 3 lnx 的不定积分 x 小于 0 能不能积分

回答 1 lnx 的不定积分，lnx 在 x 小于 0 没有实数意义，所以这个不定积分定义域限定 x>0，x 负数不能计算实积分。

【免责申明】

本文依据高等数学教材知识点整理，仅作为学习参考。